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曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？
曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？
Apr 19, 2025 pm 03:03 PM
曲線積分變量替換詳解：化簡定積分
本文詳細解釋如何通過變量替換，將定積分 $\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 簡化為 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。 許多同學在處理這類積分時會遇到困難。
并非采用極坐標變換，而是利用簡單的變量替換法即可解決。 關(guān)鍵在于選擇合適的替換變量。
解題步驟：
我們選擇替換變量 $y = \sin(t)$。 由于原積分區(qū)間為 $0 \le y \le 1$，則對應(yīng)的 $t$ 的區(qū)間為 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。在這個區(qū)間內(nèi)，$\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 均為非負數(shù)。
-
替換變量: 將 $y = \sin(t)$ 代入原積分式：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$
-
替換積分限: 當 $y = 0$ 時，$t = 0$；當 $y = 1$ 時，$t = \frac{\pi}{2}$。
-
計算微分: 對 $y = \sin(t)$ 求導，得到 $dy = \cos(t)dt$
-
代入積分式: 將 $y = \sin(t)$ 和 $dy = \cos(t)dt$ 代入原積分式：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} \cos(t) dt$
-
化簡: 由于 $1 - \sin^2t = \cos^2t$，且在 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 區(qū)間內(nèi) $\cos(t) \ge 0$，所以 $\sqrt{1-\sin^2t} = \sqrt{\cos^2t} = \cos(t)$。 代入后，積分式變?yōu)椋?/p>
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos(t)} \cos(t) dt$
-
最終結(jié)果: 化簡后，得到：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$
通過這個巧妙的變量替換，我們成功地將一個復雜的積分簡化為一個更容易計算的形式。 記住，選擇合適的替換變量以及正確處理積分限和微分項是解題的關(guān)鍵。
以上是曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？的詳細內(nèi)容。更多信息請關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！
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